
\chapter{机械振动和机械波}
\minitoc[n]
\section{教学要求}


这一章在前面学过的知识基础上讲解机械振动和机械
波．为了清楚起见，本章教材分为三部分：第一部分讲机械振
动，第二部分讲机械波，第三部分讲声学初步知识．

这一章的教学要求是：
\begin{enumerate}
\item 了解振动产生的条件，理解回复力的概念．
\item 理解振幅、周期和频率等概念的意义．了解相和相差
的概念，知道什么是同相和反相．
\item 从受力情况、速度和加速度、能量几个方面明确简谐
振动的特点；掌握简谐振动的周期公式．
\item 了解振动图象的物理意义．
\item 了解自由振动和受迫振动的意义，明确产生共振的
条件．
\item 理解机械波是怎样产生的，知道什么是横波和纵波．
\item 了解波动图象的物理意义，知道振动图象和波动图象
的区别．
\item 了解波的干涉和波的衍射．
\item 了解声波的产生，了解声波的反射、干涉、衍射以及声
音的共鸣．
\item 了解音调、响度、音品的意义，知道它们各是由什么
决定的．
\item 知道什么是乐音和噪声，了解噪声的危害和控制，知
道什么是超声波和次声波，了解超声波的应用．
\end{enumerate}

下面对这一章的教学内容作些具体说明．

讲解产生振动的条件时，要使学生很好地理解回复力的
概念，知道它是根据力的效果命名的．介绍表征振动的物理
量即振幅、周期和频率时，应注意说明振动有它的特点，需要
：引入新的物理量来描述这种特点，讲解周期的概念时，要着
重说明什么是一次全振动，这是正确理解周期这个概念的
基础．

讲解简谐振动时，应该让学生理解为什么要先研究简谐
振动，再一次说明理想化的方法，要求学生对这种研究方法进
一步有所领会．

简谐振动的周期公式，虽然是就弹簧振子给出的，但对任
何简谐振动都适用；只是对不同的简谐振动，由于受力的性质
不同，$k$的含义也不同．对于单摆，要使学生明确：只有摆角
很小时回复力才跟位移成正比，单摆才做简谐振动．单摆的
周期公式要求学生能够根据简谐振动的一般周期公式自己推
导出来．

相这个概念比较抽象，学生不容易体会它的意义．因此
教材没有给出相的定义，只要求了解：两个简谐振动的振动步
调不一致，就表示它们的相不同，或者说存在着相差．这里，
不讲初相的概念，只要求学生知道什么是同相什么是反相．

由于没有讲振动方程，更需要学生理解振动图象的物理
意义；它表示了振子对平衡位置的位移怎样随时间而变化．还
要求学生明确知道：在振动图象上可以表示出周期和振幅；利
用振动图象还可以比较振动的相．

单摆中能量的转化，在机械能一章中已经讨论过，这里着
重说明单摆的能量跟振幅有关，振幅越大，能量越大，但振动
中能量的转化不要求定量讨论，对于阻尼振动，只要求学生知
道：什么是阻尼振动；在什么条件下可以把阻尼振动作为简谐
振动来处理．

波的概念初学者较难理解，要做好演示，使学生清楚地看
出波是振动的传播，媒质本身并不随波迁移．要求学生对波
的形成有明确的认识，知道振动为什么不会局限在媒质的一
个地方，而要传播出去；知道在振动的传播中，后一个质点总
比前一个质点迟一些开始振动，相邻质点振动的相不同，因而
在整体上看才形成波向前传播．对于横波和纵波，只要求学
生知道，什么是横波，什么是纵波，不要求对它们的传播过程
作过细的分析．

波速的公式$v=\lambda f$是对各种波普遍适用的公式，要求学
生掌握．这里，首先是对波长的概念要有清楚的理解，其次是
知道在一个周期的时间内振动传播的距离等于一个波长．

关于波的图象，要求学生了解它的物理意义，它表示的是
某一时刻各个质点的位移，它是数学图象，只是对横波来说才
直观地表示波形，对纵波的图象，要求学生理解图象的意义
即纵坐标所表示的是各个质点离开平衡位置向左或向右的位
移，不要求仔细地讲述怎样得出这个图象，要求学生能够区
分振动图象和波动图象二者的不同的意义，不要求综合利用
两种图象来分析问题．

关于波的干涉，要求学生知道干涉现象是怎样产生的，即
波峰和波峰（波谷和波谷）相遇处，叠加的结果，振动最强，波
峰和波谷相遇处，叠加的结果，振动最弱．要求学生知道什么
是相干波源．这里提到相差恒定，可以要求学生从波源总保
持同相这种特殊情形来理解．关于波的衍射，只作简单介绍．

第三部分介绍声学的初步知识，重点是介绍乐音的三种
特性，说明它们各是由什么决定的，目前，噪声已成为污染城
市环境的公害之一，教材单列一节讲述噪声的危害和控制，
希望引起学生注意，并知道这方面的简单常识．

“超声波”一节是选讲内容，即使不讲授这节内容，也应该
使学生知道什么是超声波和次声波．

\section{教学建议}
全章分为三个单元．第一单元从第一节至第七节，介绍
了机械振动的基础知识，主要讨论了简谐振动的规律，介绍了
受迫振动和共振的知识，本单元是全章的基础和重点．

第二单元从第八节至第十二节，介绍了机械波的产生、传
播形式，描述手段和波的两个主要特性－干涉和衍射．
第三单元从第十三节到第十七节，介绍了声波的产生、基
本声现象、乐音的三要素和噪声的危害．

\subsection{第一单元}
\subsubsection{机械振动的定义和产生的条件}

为了培养学生科学
的观察和分析能力，可以先学生举一些他们在生活中观察
到的振动的例子，接着教师可展示一组不同物体的振动，例如
可选取弹簧振子、单摆、钟摆的摆轮、一端夹紧的锯条、内燃机
汽缸模型中的活塞、水中的浮子、不倒翁以及天平指针等．启
发他们归纳出这些运动的共同特点即物体或物体的一部分在
某位置附近沿着直线或弧线作往复的周期性运动．接着再让
学生仔细观察一下竖直放置的弹簧振子的振动，分析一下振
子在某位置附近作往复运动的这个“某位置”有什么特点，从
而帮助学生认识课本上指的平衡位置就是振动停止时物体所
在的位置．这样引导学生通过观察，掌握机械振动这种运动
形式的特点．同时也为后面引入产生振动的两个条件作了
准备．

在引入回复力概念时，可先提出前面讲过振动是一种作
用力大小、方向都变的运动．那末振动的物体所受的作用力
有什么共同的特点呢？要求学生分别观察弹簧振子以及水中
浮子的运动，思考物体为什么会作往复运动．在分析物体受
力基础上得出振动物体离开平衡位置后就受到一个指向平衡
位置的力的作用，因此称这个力为回复力，而这个力可以是不
同性质的力或者它们的合力．这样通过典型振动实例的受力
分析来引入回复力的概念，有助于学生认识回复力同向心力
一样，是根据力的效果命名的．

在引入振动的第二个条件时，可先提出为什么前面演示
中的振动物体最终都要停下来？在学生回答有阻力存在后，
可进一步提出如果阻力越来越大会怎样？接着便让学生观察
摆在水中和油中的运动，由此说明阻力过大单摆根本无法实
现往复运动，只有阻力足够小时，才能多次往复运动．

\subsubsection{表征振动的物理量}
在引入振幅概念时，要让学生通
过观察明确振子或摆在振动时，以平衡位置为原点，有一个最
大位移．这个最大位移的绝对值叫做振幅，所以课本中说振
幅是振动物体离开平衡位置最大的距离，而不说最大位移．

学生对周期这一概念并不陌生，首先应该指出振动最基
本的特点是它的周期性，在此基础上，着重帮助学生理解全
振动这一概念，教学中特别要交代清课本中的“位移和速度回
到原来的数值”，所指的“数值”不仅表示它们的大小而且包括
正负．为了使学生掌握振动物体的位移和速度这两个矢量经
过一次往复运动均返回到原先值，就完成一次全振动，有必要
让学生做一次观察练习．用一硬纸板做一红色箭头标志，将
此标志先后放在振子或单摆的不同位移处，让学生反复观察、
明确一次全振动的意义．这样，周期和频率这两个概念和其
相互关系就不难掌握了．为了使学生明确周期和频率是两个
表征振动快慢的物理量，还可让学生观察比较两个摆长相差
较大的单摆的振动，要求学生用脉搏或秒表计时比较一下这
两个摆的周期和频率，从而认识频率越大，周期越小，它们
之间的关系是互为倒数．

教学中还要注意防止学生将“振动的快慢”和“振动物体
运动的快慢”这两种表述混淆起来．因此要点明前者用周期
或频率来描述，对一个确定的振动物体讲是恒定的，而后者用
速度来描写，它是随时间而变的，由此使学生认识振幅、周期、
频率都是从整体上描述振动特点的物理量．

\subsubsection{简谐振动的回复力}

在第二节和第三节中应使学生
对简谐振动回复力的特点、来源以及分析方法有一个逐步深
入的理解．第二节通过弹簧振子的实例引入简谐振动回复力
的表达式$F=-kx$后，应该指出式中回复力与位移的比例常
数，是由振动系统本身结构决定的物理量，应该指出，如果
物体除受回复力作用外，在振动方向上还受其它不平衡力的
作用（如阻力），物体的振动就不是简谐振动了．

\subsubsection{简谐振动的运动规律}

分析简谐振动的规律是教学
中的难点，学生对加速度最大时速度为零，加速度最小时速
度最大往往不易接受，错误地认为，在平衡位置处加速度最
大，在位移最大处加速度最小，这主要在于学生仍没有真正
理解加速度的物理意义以及速度和加速度之间的关系．在分
析简谐振动的规律时，要帮助学生澄清以上错误．

为了培养学生的观察、分析能力，建议在分析振子运动规
律时将课本练习二3作为课堂练习，让学生一边认真观察弹
簧振子（最好选一个$k$较小、$m$较大的振子）的速度随位移变
化的情况，一边将观察结果先填人表中第一项和第四项（回复
力和速度随位移变化的规律）．其中振子速度换向时速度为
零，可提醒学生回忆一下竖直上抛物体达到最高点时的速度
等于什么，然后要求学生分别根据已填好的第一和第四项来
判断第三项（加速度随位移变化规律）和第二项（加速度的方
向和大小变化规律）应怎样填写，在以上观察、填表、分析的
基础上，最后再让学生阅读课本283页对简谐振动的分析，作
为小结．

关于$k$和$m$对振动周期的影响可以进行定性演示．演
示时可将振子放在气垫导轨上，让学生用秒表测出多次振动
的平均$T$值，通过比较用同一弹簧不同质量振子的$T$值和
同一振子不同$k$值弹簧的$T$值，使学生具体认识周期$T$随
的增大而减小，随$m$的增大而增大，为学生理解和接受周期
公式做好准备．


还要指出，$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
是一个适用于一切简谐振动系统
的表达式，只是对不同的振动系统，因回复力的性质不同，式
中$k$的形式也不同．对于固有周期与振幅无关，也要通过演
示使学生信服．

\subsubsection{单摆的周期公式}

单摆周期公式可通过实验观察、设
疑、释疑的方式引入，以培养学生探求和分析新问题的能力并
加深对公式中$k$的物理意义的理解．为此，可以首先介绍一
下伽利略发现教堂吊灯振动规律的故事，并用演示说明摆的
振动周期$T$与振幅、摆锤质量无关，而仅与摆长$\ell$有关．这
样，一方面能进一步加深学生对前面讲过的固有振动周期与
振幅无关的认识，另一方面由于$T$与$m$无关的实验结论和上
节学过的简谐振动周期公式中$T\propto\sqrt{m}$形式上的不一致，可以
提出一引导学生进一步探索的新问题．然后指出解决这一
表面上“矛盾”的关键，是找出单摆振动系统的$k$取决于什么
因素．接着通过对单摆回复力的分析，得出单摆的$k=mg/\ell$,
推导出单摆周期公式$T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$，
解决了前面提出的“矛盾”，
并说明理论上的分析推导与演示实验得出的结论是一致的．


\subsubsection{相和相差}

“相”对学生来说是一个抽象和陌生的新概
念，教学时主要应通过演示实验引导学生观察振动的步调是
否一致来认识相和相差的物理意义，而不必引入相的定义．可
先让学生观察两个相同的单摆作振幅相同但步调不一致的振
动．要求学生指出这两个单摆的振动有什么相同和不同的地
方．从分析这两个摆振动的不同之处，重点启发学生认识振
动步调是否一致就是指是否能保持“同时、同向”（同时向一
个方向运动）．在此基础上指出为了能对这两个摆的振动情
况分别加以描述，就必须引入一个表示振动步调的物理
量——相．接着可分别演示频率相同的摆同相和反相的振
动．演示反相时可先将两单摆从平衡位置左右两侧同时放
手，然后再让学生考虑一下如果两个单摆从同一侧放手，怎
样实现反相，并试着做一下．

\subsubsection{简谐振动图象}

做好绘制振动图象的演示，使学生理
解振动图象的物理意义，是本节教学的关键．为了增加演示
的可见度，便于边演示边分析，建议对课本图9.6的实验作
适当改进，用投影仪来演示．

将振动曲线视为振动质点的运动轨迹，认为振动物体的
速度方向沿着曲线的切线方向是学生中常见的错误．为了帮
助他们理解振动图线的物理意义，关键是使学生搞清沿着拉
动玻璃板方向的横轴所表示的是时间而不表示振动物体的位
移．演示时，可先使摆振动但不拉动下面的玻璃板，让砂或笔
头在它上面来回划出一条直线．说明振动物体仅仅只在平衡
位置两侧来回运动，但由于各个不同时刻的位移在玻璃板上
留下的痕迹相互重叠而呈现为一条直线．在此可让学生思考
一下如何将不同时刻的位移分别显示出来，接着匀速拉动玻
璃板，结果原先成一条直线的痕迹展开成一条曲线，这样便
清楚显示了不同时刻振动物体的位移，从而说明横轴表示的
是时间．教师还可指出匀速拉动（或转动）记录纸来记录参量
随时间变化的技术，被广泛应用于各种仪器中，例如脑电图、
心电图、温度、压力、地震波记录仪所记录的曲线的横坐标都
表示时间，条件允许还可让学生看一下这些仪器的实物和记
录下的曲线图．

\subsubsection{简谐振动的能量}

在从能量角度对简谐振动进行描
述前，可要求学生复习一下机械能守恒定律及其守恒条件，接
着可让学生阅读课文和观察摆或振子的振动．将练习五作为
课堂练习，让学生当堂巩固、并加深对振动过程中能量转化规
律的理解．

教学中应该说明振动系统的总能量取决于外界提供给振
动系统的能量大小，而与振动系统本身的结构无关．还应该指
出，只有与外界没有能量交换的系统作简谐振动时机械能守
恒，才遵循上述能量转化规律，与外界有能量交换的系统，情
况则不一定如此．

\subsubsection{受迫振动和共振}

在受迫振动演示实验中，要指出
只有当受迫振动达到稳定状态后，其频率才等于策动力的频
率．此时策动力对振动系统做功所传递给系统的能量恰好补
偿系统因阻力而损耗的能量，系统的机械能保持不变，成为等
幅振动．

共振的演示实验，除了可用课本图9.12和图9.13两个
装置来演示外，还可增加几个简单的演示，结合练习六2
布置几个课外实验习作，以扩展学生对共振现象的认识．课
本上关于对共振产生原因的定性解释，也可用单摆代替“秋
千”，分别施加跟单摆振动“合拍”和“不合拍”的推力，让学生
观察振幅的变化，启发学生从能量的角度，根据策动力做正功
和负功去认识共振的成因．

至此本单元已介绍了简谐振动、阻尼振动、自由振动、受
迫振动的概念，学生往往搞不清它们的区别和关系，教师可作
一简单的归纳．

\subsection{第二单元}
\subsubsection{机械波的基本特征}

在引入媒质概念时，可让学生
观察下面的演示：在钟罩中置一发声的电铃，将罩中空气抽空
便无法听到铃声，接着将钟罩中的电铃换成一个大功率的灯
泡，抽空罩中空气接通电源，在罩外仍可看到灯泡发光和感到
灯泡发出的热量，由此模拟太阳光波把光和热送到地球上是
不需要任何媒质的，通过以上演示的比较，再举水波和地震波
的例子说明机械波的基本特征是必须依靠某种媒质来传播．

\subsubsection{机械波为什么会在媒质中传播}

可首先用发波水槽
演示一下槽中水面上的浮子不随水波向前运动，使学生对机
械波是振动的传播而不是媒质的迁移获得初步的感性认识．
接着提出振动为什么不会局限在媒质内一个地方的问题让学
生思考，再慢慢转动波动演示器的手柄，让学生观察沿着波的
传播方向相邻质点依次振动的过程，并从媒质各部分之间存
在相互作用力来分析机械波的成因．

\subsubsection{机械波是怎样在媒质中传播的}

左右甩动放在光滑
地面上的长弹簧和推动水平悬挂的长弹簧，让学生从整体上
初步观察一下弹簧中凹凸相间波和疏密相间波的传播，并提
出这两种波怎么形成的问题加以研究．然后在弹簧上的某处
作出醒目的记号，重复以上演示，要求学生注意观察在波的传
播过程中该处质点作什么运动，看它是否一直向前迁移．接
着在弹簧上不同处分别做不同颜色的记号，要求学生从整体
上仔细观察这几处质点振动时步调是否一致，频率是否相同．
然后再用波动演示器或活动投影幻灯片模拟波的传播，放慢
披的传播速度，再现课本上图9.15和图9.16的动态过程，
让学生进一步证实他们在实际观察中得到的初步结论，通过
以上步步深入的观察，引导学生认识弹簧上每个质点只在它
自己的平衡位置附近振动，不同质点的振动频率相同，但相位
不同，它们在传播方向上依次落后，就形成了在整体上所观察
到的凹凸相间和疏密相间的波．

在以上分析的基础上，最后可引导学生归纳一下振动和
波的区别与联系．明确它们的研究对象不同，振动是波的起
因，波是振动在媒质中的传播，并由此得出形成机械波的两个
条件——波源和媒质．

\subsubsection{机械波也是能量在媒质中的传播}

在阐明机械波的
传播实质上就是能量在媒质中传播时可先提出以下问题让学
生思考：波源质点的振动是否可能是一种无阻尼的自由振动？
通过对这一问题的讨论、分析，帮助学生认识媒质质点间的
相互作用力对波源讲是阻力，对波传播方向上的质点讲它既
是动力又是阻力，因此只有不断供给波源能量，它的振动才能
保持下去，并不断地向外输出能量．而沿着振动传播方向的
媒质质元则起了能量传递者的作用，它不断从前面的质元
获取能量，又把这能量传给后面的质元，（它的能量是随时间
作周期性变化的，这与前面第六节中介绍的孤立质元作无阻
尼振动时机械能守恒的情况不同．）于是波在传递振动形式
的同时，也将波源的能量传递开去．

\subsubsection{波长、波速与频率的关系}
掌握波长的定义的关键，是让学生弄清在波的传播方向
上哪两个点是相邻的同相质点．可以结合课本上图9.15和
用手摇波动器 做演示让学生找一下哪些点是相邻的同相质
点．引入波长定义后，还可要求学生进一步集中注意力观察
一下某时刻波动演示器上横波相邻波峰（或波谷）上的两个质
点或者纵波相邻密部（或疏部）中央的两个质点在振动过程中
是否同相，并可将练习七4作为课堂练习，让学生当堂巩固
对波长定义的理解．

掌握波长、波速和频率关系的关键是要把波长等于一个
周期内振动在媒质中传播的距离交代清楚．为此除了用图
9.15进行分析外，仍可在波动演示器上边演示边说明以达到
加深学生印象的效果．此外还可将波长、周期、波速与步行时
的步长，走一步的时间和步行的速度类比（将频率理解为单位
时间内走几步），以帮助学生理解和掌握这个公式．

\subsubsection{横波图象和纵波图象}

应使学生明确，无论是横波还
是纵波图象，都是表示某一时刻媒质各质点离开平衡位置位
移的函数图象．横波图象直观地表示了波的形状，犹如在某
时刻给波传播方向上全体质元拍的一张“照片”，故称横波图
象为波形曲线．学生较难理解的是纵波图象，因为它不太直
观．教学时，可将练习八3作为课堂练习，此外还可补充一
个问题：纵波密部中央质点和疏部中央质点的位移有何特征？
是否与横波中的波峰和波谷相对应．

\subsubsection{波的图象与振动图象} 

比较波动和振动图象的教学，
可在引入简谐波的概念基础上，引导学生分析讨论以下问题：
这两种图象描述的对象是否相同？纵、横坐标的意义是否相
同？相邻两个位移最大值之间距离所表示的意义是否相同？判
断质点在某时刻运动趋势的方法是否相同？由此将它们在物
理意义上的本质区别作一简要归纳．

\subsubsection{波的独立传播和叠加} 

课本图9.21的演示可用长弹
簧（或灌满铅粒的细橡皮管）代替绳子，将它们放在光滑地面
上同时甩动一下两端，要求学生观察两个脉冲波在相遇时振
幅怎样变化，相遇后是否会消失或改变方向和形状，为了使学
生对波的这一基本性质获得更为具体生动的认识，可在波纹
槽或盛水面盆中用两个手指同时轻点水面，就能看到两列水
波互相穿过，这说明了水波的独立传播．在以上演示基础上
再用运动和位移的合成来解释波的叠加现象，学生便较易接
受和理解了．

\subsubsection{波的干涉} 

波的干涉的教学可采用两种方式处理，第
一种方式可按课本的顺序，在前面介绍波的独立传播和叠加
原理的基础上，先从理论上分析两列频率和相都相同、振动方
向一致的水波叠加后会出现什么现象，然后再用演示实验验
证预期的现象，并得出结论．在演示水波的干涉图样时，用音
叉作为两个相干波源，也可取得较好效果．敲击音叉，将它的
两臂接触水面，用投影仪或直接利用阳光的反射都可将水面
上的干涉图样清晰地显示在屏幕或墙壁上．第二种方式可先
用波纹槽演示两列频率和相都相同的水波叠加后产生的干涉
现象，以激起学生探索兴趣，然后再根据波的传播和叠加原
理从理论上分析形成所观察到的现象的原因．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/9-1.png}
    \caption{}
\end{figure}

在用波的叠加原理分析干涉现象时，最好先让学生用两
条截下的瓦楞纸表示两列横波，如图9.1所示，用两个大头针
将它们的端部分别固定在木板上两点表示两个波源，使两条
瓦楞纸在波源前方交叉，交叉点沿着平行于连接两个波源的
一条直线移动．分别用两种不同记号表示交叉处波峰与波峰
（或波谷与波谷）以及波峰与波谷的叠加．这样，可使学生形
象地认识两列同频率的波迭加所产生的振动加强和削弱互相
间隔的效果，还可启发学生通过仔细的观察思考一下，在振
动最强处和最弱处质点所参与的两个振动的相位关系．讲述
时还可用两张印有许多同心圆的投影片的重叠所产生的视觉
形象来清晰显示课本图9.22所示的两个相干波源产生的干
涉条纹．

\subsubsection{产生波的干涉以及衍射的条件}

首先要求学生明确
产生干涉现象的两列波的振动方向必须一致，关于相干波源
的条件的教学，可用演示实验来说明，两个波源的频率必须相
同．关于要求两个波源相差恒定这一点只需从演示干涉现象
时两个波源保持同相这一特殊情况推广即可，不必再引伸解
释．如果时间允许还可用上面介绍的瓦楞纸教具结合章末习
题9做一下，两个波源频率相同但振动反相是否也会出现干
涉现象的演示（用两枚大头针分别将一条瓦楞纸端部的波峰
和另一条端部的波谷固定在木板上两点，代表两个反相的
波源）．

有关波的衍射条件，只需用发波水槽通过演示课本图9.24的情况给出，而不必作理论上的分析解释．应该向学生指
出课本上讲的障碍物或孔的大小尺寸与波长差不多是指产生
明显衍射现象的起码条件，若障碍物或孔的尺寸远小于波长，
无疑是可以产生衍射的，这一点可以通过演示水波通过的孔
缩小至比波长还小时衍射现象越来越明显来说明．

在指出波的干涉、衍射是一切波所特有的现象时可举无
线电波衍射的例子和让学生观察光通过指缝时的衍射现象，
从而使学生获得初步的感性认识．有条件的学校还可用厘米
波发生接收器来演示无线电波通过双缝时的干涉和通过单缝
时的衍射现象．

\subsection{第三单元}
\subsubsection{声源发声时的振动}

在介绍声源是振动物体时，要做
好几个不同的演示，除了课本图9.25的实验外，还可以选用
以下几个演示实验．
\begin{enumerate}
\item 用敲响的音叉接触蒸发皿中的水面，可看到水向外
飞溅．
\item 在鼓面或向上放置的喇叭纸盒上撒一些碎的硬质泡
沫塑料屑，敲响鼓面和使喇叭发声，可看到碎屑的跳动．
\item 弹拨绷紧的橡皮筋或弦可看到橡皮筋和弦的轮廓变
模糊，发音时用手摸咽喉可感到声带的振动．
\end{enumerate}

\subsubsection{声波}

说明声波是声源的振动在媒质中的传递时，可
在一发出低频信号声的喇叭纸盆前置一烛焰，观察烛焰随着
信号声而抖动的现象，从而形象地显示出图9.26所示的声
波是纵波．教学中还可选用以下几个随堂小实验来显示声波
也可在固体、液体中传播以及在不同的媒质中传播的速率
不同．
\begin{enumerate}
\item 将耳朵贴在桌面上，在离耳朵不同距离处用指甲轻敲
桌子．
\item 如图9.2所示，将匙子系在绳子的中间，把绳子的两
端分别用两具手的拇指按在两个耳孔上，敲响匙子，接着松开
按住耳朵的手指，比较前后听到的两种声音有何不同．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/9-2.png}
    \caption{}
\end{figure}

\item 把耳朵紧贴在一个盛满水的塑料袋上，能听到贴在水
袋另一边表的滴嗒声．把塑料水袋取走，比较前后两次听到
的声音有何不同？
\item 将一敲响的音叉放在鱼缸水面的上方，观察缸内鱼的
反应．
\end{enumerate}

\subsubsection{声音的现象} 

讲声波的反射时，要注意讲清人耳能分
清回声的间隔时间与建筑物内交混回响时间的区别，免得学
生把两者混淆起来．

讲解声波的干涉和共鸣现象时，可把音叉发给学生，让他
们自己做课本图9.29的实验，此外还可将面对学生的两个
扬声器（相距约1米）接到同一音频信号发生器上，让学生在
座位上左右晃动身体，便可听到有的地方声音增强，有的地
方声音减弱．在做声音共鸣实验时可用扩音机把共鸣声放大，
使全班同学都能听到．


\subsubsection{乐音和乐音的波形曲线}

学生往往容易把一些声学
名词和概念混淆起来，因此教学中应尽可能使学生通过自身
的听觉和观察来认识和描述人耳对乐音感觉的三个特征以及
它们取决于什么因素．

在介绍课本图9.30乐音的周期性波形曲线时，应说明是
由单一乐器（钢琴）所发出的，并非表示许多乐器或同一乐器
演奏一首乐曲时的波形曲线．此外可以点明这里的波形曲线
实质上也是波源或媒质质点的振动曲线，它的横轴是时间轴，
纵轴是位移轴．后面课本图9.33(乙）和图9.34(乙）所表示的
波形曲线也是如此．有条件的话，最好用示波器演示乐音和
噪声的波形曲线．

\subsubsection{音调和响度}

课本图9.32的演示实验可见度大，效
果较明显，但发声较轻，可用扩音机放大声音．在说明声源振
幅对响度的影响时，应设法增加声源振幅大小的可见度，例如
可轻拨和重拨拉紧的弦或一端夹紧的锯条，使学生看到声音
强弱不同时振幅不同．用课本介绍的音叉或鼓做实验时，可将
敲响的音叉接触通草球或碟子中的水面，在鼓面上撒一些爆
米花来间接显示振幅大小．

在引入声强概念时应使学生明确响度是人们主观上感觉
到的声音强弱，它跟客观上的声强有密切关系．但是，人耳能
听到的最低声强随频率而异．所以，不同频率的声音，即使声
强相同，响度也是不一致的．

\subsubsection{音品}

学生对音品这一概念较难理解，而且容易将它
与音调混淆起来，为此在引入音品这一概念时可播放一段事
先准备好的用不同乐器（如钢琴、小提琴、笛子等）以同一音调
演奏的同一乐曲的录音，让学生辨别 这样能使学生对人耳
之所以能辨别出不同乐器的声音，是由于音品不同，留下一个
鲜明生动的印象．为了使学生了解音品取决于什么因素，关
键是要讲清基音和泛音这两个概念．讲解时最好用示波器来
显示音叉发出的声波是简谐波，而其他乐器发出的声波是类
似图9.33、9.34所示的周期性波．不同乐器发出声音的音调
相同即是指其基音频率相同，而人耳之所以能分辨出不同乐
器发出的声音，是因为它们发出的泛音的多少、频率、振幅不
同所致．

\subsubsection{噪声的危害和控制、超声波}

这两节课可以学生阅读
讨论为主，提高他们的阅读和表达能力．例如让学生列出一
张生活环境中各种噪声源的表，考虑一下有什么控制的方法，
采用讨论的方式，互相交流、补充．此外还可组织看有关超声
波和噪声的教学电影并选择一些杂志上有关的科普文章推荐
给学生看，以开拓他们的知识面．对有兴趣的同学还可组织
他们对周围环境中的噪声（噪声的强弱及噪声源）作些调查，
对噪声治理提出一些建议和办法．

\section{实验指导}
\subsection{演示实验}
\subsubsection{机械振动}
（1）课本图9.1的实验可用倔强系数较小的弹簧来做，
重物的质量可以稍大些，这样可使振动较慢．如果没有$k$值
较小的弹簧，也可以把弹簧取得长一些，这样就相当于$k$值变
小．在演示时可在铁架台上用标记指示重物的平衡位置，以
便于观察重物以这一位置为中心上下往复运动．

（2）也可以用图9.3的装置来演示机械振动，在一乒乓
球的两侧，分别用橡皮胶粘贴
一段细橡皮绳（航模材料），将两
端的橡皮绳固定在两个铁架台
上，调节两个铁架台间的距离，
使得两段橡皮绳都被绷紧，将
乒乓球向上（或向下）拉开一段
距离，释放后，乒乓球就以平衡位置$O$点为中心做上下往复运
动，如果把两个铁架台前后放置，也可以观察乒乓球以平衡位
置为中心的左右往复运动．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-3.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-4.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

    （3）如图9.4所示，在大量筒（800—1000毫升）里盛满
酒精（粘滞系数比水小），将一密度计（比重计——轻表）浮在
酒精中，注意不要让密度计与筒壁相接触．当它静止后，把它
向下压（或向上提起）一小段距离，释放后，可观察到密度计在
酒精中以原来的平衡位置为中心上下振动．

\subsubsection{产生振动的条件}

（1）当物体离开平衡位置后必须受到回复力的作用．如
图9.5所示，弹簧$A$和由普通铁丝绕成的形状和$A$相仿的“弹
簧”$B$, 在它们的下方各挂一个50克的钩码．并使两个钩码
都在同一高度，这一位置就是两个钩码的平衡位置．将弹簧$A$
下的钩码再往下拉一小段距离，释放后，可观察到钩码做上下
振动；而将“弹簧”$B$下的钩码也往下拉一小段相同的距离，释
放后钩码根本不运动．以此来说明物体离开平衡位置后必须
受到回复力的作用，才能产生振动．

（2）将一单摆放在空气中观察其振动，然后再把一盛
有粘性很大的油（如10号或15号机油）的玻璃缸放在桌上，
缸内油面的深度要能使摆球经过平衡位置时全部被浸没（图
9.6）．将摆球拉出油面，释放后，摆球只能比较缓慢地运动到
平衡位置附近，而不能继续做往复运动．这说明产生振动的
第二个必要条件是：阻力要足够小．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-5.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-6.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

    （3）将一钢球放在离心轨道（可用两条粗铁丝自制，如图
9.7所示）的底部$O$点，指出这是钢球的平衡位置，然后将钢
球移到位置$B$, 释放后，可观察到钢球将以$O$点为中心沿着圆
弧做往复运动．这说明钢球离开平衡位置后，受到重力和弹
力的作用（阻力可以不计），这两个力的合力，是使钢球回到平
衡位置的回复力．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-7.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-8.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\subsubsection{简谐振动}
（1）可利用气垫导轨，在
滑块上固定一根倔强系数较小
的细弹簧（弹簧的直径约1.5—2.0厘米），弹簧的另一端固定在
气垫导轨的一侧，按课本图9.2进行演示和分析．演示时可在
导轨旁放一大的刻度板，用来指示滑块原来的平衡位置，并可
观察滑块在平衡位置两侧的位移变化．

（2）也可利用图9.8所示的装置．在小车的一端固定一
根值较小的弹簧，小车下面垫放一块玻璃板，放在水平桌面
上进行演示．

（3）利用课本图9.1的演示，说明挂在弹簧下端的重物
的振动是简谐振动时，应指出如重物在平衡位置弹簧的形变
为
$x_0$, 则弹簧的弹力$kx_0$和重力$mg$相平衡的位置即是振动
中的平衡位置（图9.9甲）．当重物向下距平衡位置的距离为
$x$ ($x<x_0$) 时，它受的合力$F=k(x_0+x)-mg=kx$, 方向向上
（指向平衡位置），如图9.9乙所示．在重物向上运动的过程
中，这一合力将逐渐变小，当经过平衡位置时，合力$F=0$.
而当重物继续向上运动离开平衡位置的距离为$x$时，重物所
受合力$F=mg-k(x_0-x)=kx$, 方向向下（指向平衡位置，
图9.9丙），这一合力将随着上升距离$x$的增大而增大，因此
从整个振动过程来分析，重物所受的合力跟它离开平衡位置
的位移$x$成正比，而方向始终跟位移相反，所以挂在弹簧下端
的重物在竖直方向上的振动是简谐振动．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-9.png}
    \caption{}
\end{figure}

\subsubsection{简谐振动的周期和频率}
做课本图9.1的实验时，如果把重物的质量减小为原来
的1/4, 振动周期约减小一半，也就是频率约增加一倍．重物
质量不变的情况下，还可以改用$k$值较大或较小（可采用不同
长度的同种弹簧，弹簧原长增加一倍，相当于$k$值减小一半，
弹簧原长减少一半，相当于$k$值增加一倍）的弹簧，重新测定
振动周期，以获得弹簧振子的周期跟它的质量和弹簧$k$值大
小有关的认识．


\subsubsection{简谐振动的图象}
（1）在做课本图9.6的演示实验时，要使用烘干的并用
细端筛过的砂粒（若用金刚砂则效果更好），平板可以用玻璃
板（或透明的有机玻璃板），整个装置放在投影仪上进行演示，
让学生看到振动图象的描绘过程．为了使摆锤的摆动稳定，
可以采用双线摆的结构（图9.10）．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-10.png}
    \caption{}
\end{figure}

（2）或可将一毛笔头缚在锯条的一端，锯条的另一端用
夹具夹住（图9.11），把毛笔尖蘸上少许墨水，将锯条拨动使
之发生振动，同时将与笔尖刚接触的纸片，沿着垂直于笔尖的
振动方向匀速拉动，在纸片上就描绘出笔尖做简谱振动的
图象．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-11.png}
    \caption{}
\end{figure}

（3）也可以像图9.12那样，在两根轻质弹簧之间拴一具
有较大质量的金属螺母，在螺母上固定一个蘸有墨水的毛笔
头，将两根弹簧的另一端$A$和$B$固定起来，使两根弹簧适当绷
紧，弹簧基本上在水平方向，将金属螺母向右（或向左）拉过一
小段距离，释放后带动笔尖在水平方向做简谐振动．调节两
根弹簧固定端$A$、$B$的高度，使得笔尖刚能和放在下面的一张
纸片接触，将纸片沿着垂直于笔尖的振动方向匀速拉动，在纸
片上就描绘出笔尖做简谐振动的图象．

（4）在上述（2）、（3）两个演示实验中，如果适当降低锯条
和弹簧的高度，使得笔尖和纸片间的压力增大，从而增大了振
动时的摩擦力，则可描绘出明显的阻尼振动的图象．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-12.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-13.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\subsubsection{受迫振动和共振}
（1）课本所示的受迫振动实验，可以在振子下方放一个
盛着水的烧杯（图9.13），适当调节烧杯的高度，使得振子在水
中振动，以增大阻尼，使它的固有振动尽快得到衰减，呈现受
迫振动，但要控制摇手柄的转速，使策动力的频率不要远大于
振子的固有频率，因为由于水的阻力，振子会来不及振动，如
果摇手柄的转速较小，策动力的频率小于振子的固有频率，演
示效果较好．为了使转速均匀，可以把手柄拆下，在曲轴上安
装一个直径约为10—12厘米的皮带轮（可用厚有机玻璃片车
制），利用玩具电动机（2—6伏）通过皮带传动装置来带动曲
轴转动（图9-13),而且通过调节串联在电动机电路中的滑动
变阻器，可以方便地改变电动机转速（相当于改变策动力的
频率）．

（2）摆的共振：用课本图9.13的装置观察摆的共振时，$A$摆的摆球质量
要大些，以仅贮存较多的能量，在张紧的绳上不一定要同时放
上七个单摆，例如除$A$外保留$B$、$D$、$E$三个摆，能观察到跟$A$
摆摆长相等的$B$摆振动的振幅最大也就足以说明问题了．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-14.png}
    \caption{}
\end{figure}

（3）如图9.14所示，将一长木片（航模材料，$50\x1\x300{\rm mm^3}$
）用铁块压在桌子边，长木片露出桌边的长度约为12—14厘米．木片的端部用螺丝固定一个小的玩具电动机（2—6伏），在机轴上缠绕一段焊锡丝并留出一段（约2厘米）不绕上
去．这样，玩具电机运转时就对长木片产生一个周期性的
策动力．在电动机电路中串联一个滑动变阻器，当变阻器的
阻值较小时，电动机转速较大，形成的策动力频率也较大，露
出桌边部分的木片就按相同频率做受迫振动，可观察到这时
木片的振幅较小，调节变阻器，使电阻逐渐增大，电动机转速
逐渐变小，当形成的策动力频率等于露出桌边部分木片的固
有频率时，便可观察到木片做受迫振动的振幅达到最大——
即产生共振的现象．

\subsubsection{横波的形成和传播}
（1）课本图9.15的演示，如果把绳子放在地上做，由于
地面支持力抵消了重力作用，效果较好．但最好选择象磨光
水泥地那种摩擦较小的地面来做．

如果用弹簧来代替绳子，则效果更好．可采用直径为
12—15毫米左右钢丝直径约为0.30—0.35毫米的密绕弹簧．
如果买来的弹簧比较短，则可以用几段接到一起使总长度约
为4—5米．联接的方法：可以用铜丝把两段弹簧一端的一圈
钢丝绞合在一起．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-15.png}
    \caption{}
\end{figure}

（2）如图9.15所示的简单装置，可用来演示横波的形
成．一根拉长到发生均匀范性形变的弹簧，根据需要可截取
数圈装置在有机玻璃支架上．当缓慢转动弹簧时，通过投影
仪，在屏幕上可形象地观察横波的传播过程，改变弹簧的转
向，波的传播方向也随之改变．

这类装置制作简便，但要注意每圈弹簧间的间隔应相等，
并且转动轴在弹簧的轴线上，为了观察横波中质点的振动方
向，可在弹簧的任一圈上滴上一滴熔融的火漆成一小球．当
转动弹簧时，可观察到凹、凸相间的横波波形向前推进的同
时，质点以平衡位置为中心作振动（图9.16）．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-16.png}
    \caption{}
\end{figure}

为比较同相点或反相点的振动，可在弹簧的相应位置上
滴制二个或四个火漆小球（图9.17）．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-17.png}
    \caption{}
\end{figure}

为了不同的观察目的，这类装置可以制作一批，例如弹簧
的不同圈距可以表示不同波长，弹簧的不同直径则可表示不
同的波幅．

\subsubsection{波长、频率和波速的关系}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/9-18.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-19.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

（1）可利用发波水槽和投影仪进行演示．如图9.18所
示．在玩具电动机的机轴上用焊锡丝缠绕成一个偏心装置，
将玩具电动机固定在具有弹性的金属片的一端，金属片固定
在发波水槽的边上，它的伸出部分的长度可以调节，在金属
片的伸出端下方装－个用来跟水面接触的平板型振子（图9.19）．振子可用1.5—2毫米厚的木板制成，用螺丝固定时要注
意调节安装位置，使得电动机转动时它只做上下振动而没有
横向摆动（还可以通过改变金属片的伸长部分的长度来调
节）．这样，通过投影就可以在屏幕上观察到平板型振子所产
生的平面波．从波纹明暗相间的间隔宽度可以大致后出波长．
改变电动机电路中串联的滑动变阻器的阻值，使电动机转速
变快，相当于使波源的频率变大，这时可以观察到，波纹间的
间隔变窄，即波长变小；使变阻器电阻增大，电动机转速变慢，
波源频率变小，则波纹间距变宽，即波长变大．这就定性地说
明了在波速一定时（机械波的波速是由媒质性质所决定的），
波长跟频率成反比关系．

（2）用圆盘频闪观察器观察当频率一定时，波长随波速
的增大而增大．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-20.png}
    \caption{}
\end{figure}

如图9.20所示，在发波水槽的一边装一个框架，把带有
偏心装置的玩具电动机安装在一块木条上，木条用两根橡皮
筋（或弹簧）吊在框架上，使木条下部稍许浸入水中，当电动机
转动时，使木条振子发生上下振动，在水面上形成一系列平面
水波．在水槽的另一边叠放几块矩形玻璃板，调节玻璃板的
厚度，使水层变得很浅．这样，当平面波进入到这一薄层的区
域时，相当于传播振动的媒质性质发生了改变，于是波速有了
改变（变小），由于波源的频率不变，因此波长也有了相应改变
（变短）．上述现象可以投影在屏幕上直接观察（为了消除槽
边反射波的影响，可在水槽四周垫放一些塑料回丝）．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-21.png}
    \caption{}
\end{figure}

屏幕上的波纹可以利用手动式圆盘频闪观察器来进行
观察．频闪观察器可以自制，在一块直径约25厘米的圆盘状
硬纸板或薄木板上开6条或12条等距对称、成辐射状的条形
观察孔，如图9.21所示，在圆盘中心开孔，用螺栓做轴，使
圆盘能绕轴转动，在轴上用螺母固定一个手柄，并在盘上靠
近中心处开一个直径约1.5—1.8厘米的指孔，用来拨动圆盘，
这便制成了圆盘频闪观察器．使用时一手持柄，另一手用食指
插入指孔转动圆盘，眼睛通过盘上的辐射状观察孔注视屏幕
上的波纹，逐渐增大圆盘转速，当圆盘上的观察孔经过眼前的
频率与水波频率同步时，所观察到的波纹就会“固定”下兼静
止不动（否则波纹不是前进便是后退）．这时可看到玻璃板上
方的波纹和前面部分的波纹同时被“固定”住．但这两个区域
内相邻两条波纹的间距大小是不相等的，即波长不同．这就
直观地显示了波进入不同媒质时频率不变，波速和波长发生
了变化的情况．

\subsubsection{波的叠加}
（1）课本图9.21所示的在绳子上两个相遇的波互相穿
过的实验效果不是很明显．可以改用前述的4—5米长的弹
簧进行演示．演示时让学生围在四周观察，请一位学生当助
手．教师与学生各拿着弹簧的一端，把弹簧平放在地板上先
让学生把弹簧的$A$端按在地上，教师把弹簧的$B$端迅速向上
抖动一下，这时可观察到一个凸起的（振动平面垂直于地面）
半波，从$B$向$A$传播．分别从弹簧的$A$、$B$端发出一个波，可
观察到这两列波相遇，互相穿过后，仍然各自保持原有的状态
继续向前传播的现象，这个实验也可以贴着地面抖动弹簧，
使波动在水平方向上发生．

（2）利用发波水槽也可以观察两列水波互相穿过的现
象．演示时可用两支口径粗细不同的滴管，在水槽中同时滴
下两颗水滴，大水滴激起的水面波的能量较大，从屏幕上看，
圆面的波纹较粗，小水滴激起的水而波的波纹较细．可以看
到粗、细两个圆形波互相穿过后，仍保持各自原有的粗细程度
向前传播．

（3）还可利用课本图9.16的装置，在细长弹簧的左端推
动摆球振动一次，发出一个波的同时，在右端用手掌推动一
下弹簧形成一个频率较小的波，可以观察到这两列纵波相互
穿过的现象．

\subsubsection{水波的干涉}
利用图9.18的发波水槽和投影装置，可以观察课本图
9.23的水面波的干涉图样，演示时可以在弹性金属片下安装
两个相隔一定距离的金属小球（直径约4—5毫米），作为两个
频率和相都相同的波源（相干波源）．观察时要调节聚光镜的
位置，使水面的像最为清晰．

发生干涉时只要求两个波源频率相同、相差恒定，两个波
源的振幅不一定要相等，这一点可以通过演示证明．把安装
双球振子的固定片稍稍倾斜，使一个球接触水面的深度深些，
另一个浅些，这样，发出的两列波的振幅就不相等，但还是能
看到稳定的干涉图样．

\subsubsection{声波的干涉}
将正在发声的音叉放在耳旁徐徐转动，就能辨别出声音
忽强忽弱的现象．也可以将正在发声的音叉放在一个话筒前
转动，把信号放大后接在扬声器上，可以听出声音忽强忽弱．
还可以把示波器并联在扬声器两端进行观察，可以看到随着
音叉的转动，所形成的声波波幅的变化．

以上几个现象都说明了声波的干涉．但对如何形成声波
干涉的具体过程，建议不必行分析，因为这是比较复杂的，
不象发波水槽中水面波产生干涉那样的单纯．

\subsubsection{声音的共鸣}
（1）利用课本所述的共振音叉演示声音的共鸣时，要使
两个共鸣箱的开口端互相对着，比较靠近些，并且使两个音
叉的振动方向在同一平面上．当用橡皮锤敲击一个音叉时，要
稍待一会儿，使得通过空气的振动把能量较多地传给另一个
音叉，然后用手按住被敲出的音叉，去听另一音叉发出的
声音．

（2）也可利用弦的共振来进行演示（沈括在《梦溪笔谈》当
中所介绍的方法），把两根弦固定在弦音计上，调整到相同的
频率，拨动一根弦时，可以看到骑放在另一根弦上的小纸片会
发生弹跳飞落的现象．

（3）课本图9.29所示的空气柱的共鸣实验中，所用的玻
璃管的直径约为2厘米左右．如果选用频率为520赫兹的音
叉，则玻璃管的长度应不小于20厘米，因为声波在这一频率
时它的四分之一波长约为16厘米，这样才能上下移动玻璃管
调节气柱的长度．

\subsubsection{音调跟频率有关}
（1）按课本图9.32的装置进行演示时，所用的纸片应选
用薄而硬的材料（譬如可用一小块新的牛皮纸效果很好）．

（2）敲击不同频率的音叉，由话筒通过放大器用示波器
观察它们的波形．若以384赫的波形为标准（譬如调到出现
三个全波），再换上256赫兹或520赫兹的音叉，可以明显地
看到波数变少或变多，说明频率越大，音调越高．

（3）利用音频信号发生器，当音调连续（或不连续）改变
时，可观察到示波器上的波数出现相应的改变．

\subsubsection{响度跟振幅有关}
（1）音叉插在共鸣箱上，用橡皮锤轻敲，音叉发出比较轻
的声音，同时用悬挂在支架上的小木球靠近音叉的一个叉股，
观察小球被弹开的角度．然后再用橡皮锤较重地敲击音叉，
音叉发生较响的声音，用小木球靠近时，可观察到小木球被弹
开的角度要大得多．

（2）利用示波器进行观察，轻敲音叉时波形的波幅较小，
较重地敲击音叉时，可观察到波幅明显增大．

\subsubsection{音品}
用示波器观察，对纯音（可用频率为256赫兹的音叉）和
其他乐器（或人声）所发出的中央C音的波形进行对比．

\subsection{学生实验}
\subsubsection{用单摆测定重力加速度}
（1）单摆是一个理想化的振动系统，选择材料时应用较
细的蜡线或尼龙丝，小球应选用体积较小、密度较大的金属
球，这样，才能比较符合一根“不能伸长，设有质量的线的下
端系一质点”的要求．

（2）为了使摆角不超过5°,摆球从平衡位置拉开的距离
应不超过$\ell\sin5^{\circ}$. 如果摆长$\ell=1.000$米，$\sin5^{\circ}=0.0872$, 则
摆球从平衡位置拉开的距离$A=\ell\sin5^{\circ}=0.0872{\rm m}=8.7{\rm cm}$．

（3）测量单摆的振动周期时，在摆球的平衡位置下面做
一记号（譬如放一支铅笔，如图9.22所示）．将摆球从平衡位
置拉开一小段距离，由静止释放后，观察摆球的振动，同时以
平衡位置为标准，默数摆球完成全振动的次数，使数数的快
慢能跟振动周期同步，然后再来计时，当观察到摆球又一次
经过平衡位置时，采取倒数的方法，默数“四——、三——、
二——、一——、零”，数到零时开始计时，接着顺数单摆完成
全振动的次数，记下摆动30—50次全振动的时间．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-22.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-23.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

（4）实验中应注意的几个问题
\begin{enumerate}
\item 摆线的悬点一定要固定好，要用比较紧一些的铁夹
（文具夹）夹牢，以免在摆动过程中摆长发生改变．不允许将
悬线随意绕在铁架台的复夹上，如图9.23所示的固定悬线的
方法是错误的，这将使摆长在振动过程中时刻发生变化．使
用铁夹固定悬点，还可以根据实验需要方便地改变摆长．

\item 测量周期时，开始计时要以平衡位置为标准，而不是
以摆球到达最大位移处为标准，这是因为摆球经过平衡位置
时的速度最大，误差可以小一些；而当摆球到达最大位移处
时，摆球的速度最小，人的眼睛不易分辨摆球的速度是否恰好
等于零．
\end{enumerate}


（5）几个可以让同学思考的问题
\begin{enumerate}
\item 为什么要测出摆动30—50次的时间，再算出平均摆
动一次的时间，而不是只测一次全振动的时间？
\item 为了更接近于单摆这一理想化的模型，实验中所用的
悬线长度长一些好还是短一些好？摆球的体积大一些好还是
小一些好？
\item 在研究周期与摆长的关系时，是否可以计算出$T^2$的
数值，然后跟对应的摆长$\ell$来计算出每一组比值$T^2/\ell$, 看看
它们的关系如何？或者是否可以画出$T^2$-$\ell$图象来进行研究？
\end{enumerate}

\section{习题解答}

\subsection{练习一}
\begin{enumerate}
    \item 设图9.1中振幅是2厘米，完成一次全振动，振动物体通过的路程是多少厘米？如果频率是5赫，振动物体每秒通过的路程是多少厘米？
    
    \begin{solution}
        完成一次全振动，振动物体通过的路程
       \[ s=4\x 2=8{\rm cm}\]
        已知频率$f=5$赫，每秒钟通过的路程
       \[ s'=8\x 5=40{\rm cm}\]
    \end{solution}
    \item 设图9.1中振幅是2厘米，取竖直向上的方向作为正方向，物体运动到点$C$时对平衡位置的位移是多大？运动到点$B$时对平衡位置的位移又是多大？
    
    \begin{solution}
        物体运动到$C$点时，位移$x_C=2$厘米．
        物体运动到$B$点时，位移$x_B=-2$厘米． 
    \end{solution}
\end{enumerate}

	
\subsection{练习二}

\begin{enumerate}
    \item 物体在任意回复力作用下振动，一定是做简谐振动吗？为什么？


    \begin{solution}
        不一定，因为做简谐振动的物体，受到的回复力不能
        是任意的，它一定是跟对平衡位置的位移成正比而方向相反
        的，即$F=-kx$, 否则物体的振动就不是简谐振动．
    \end{solution}
    \item 用手拍球，使球在硬地上来回跳动，球的运动是简谐
    振动吗？为什么？


    \begin{solution}
        上下跳动的球，除了运动到最低点，即跟地面发生碰
        撞的很短一段时间外，只受到重力的作用．重力是一个跟球的
        位移无关的恒力，不是回复力．所以球的跳动不是简谐振动．
    \end{solution}
\item 分析课本图9.2中弹簧振子的运动，并填好下表：	
\begin{center}
    \begin{tabular}{p{.3\textwidth}|c| c |c |c}
        \hline
        振子的运动  & $C\to O$ & $O\to B$ & $B\to O$ & $O\to C$\\
        \hline
        回复力的方向怎样？大小如何变化？&向右变小&向左变大&向左变小&向右变大\\
        运动的性质（加速或减速）&加速&减速&加速&减速\\
        加速度的方向怎样？大小如何变化？&向右变小&向左变大&向左变小&向右变大\\
        速度的方向怎样？大小如何变化？&向右变大&向右变小&向左变大&向左变小\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}
	\item 课本图9.2所示的弹簧振子的质量是100克，频率为2赫，求弹簧的倔强系数．

\begin{solution}
由公式$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$和$f=\dfrac{1}{T}$，得
\[f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]
所以
\[k=4\pi^2 f^2m=4\x 3.14^2\x 2^2\x 0.1=15.8{\rm N/m}\]
    \end{solution}
    \item 一个如课本图9.2所示的弹簧振子的质量是200克，弹簧的倔强系数是16牛/米，振幅是2厘米，取水平向右的方向作为正方向．当振子运动到右方最大位移时，回复力和加速度的数值各是多大？当振子运动到左方最大位移时，回复力和加速度的数值又各是多大？这个弹簧振子的周期和频率各是多大？


    \begin{solution}
振子运动到右方最大位移时，回复力的数值
\[F=-kx=-16\x0.02=-0.32{\rm N}\]
加速度
\[a=\frac{F}{m}=-\frac{0.32}{0.2}=-1.6\msq\]
振子运动到左方最大位移时，回复力的数值
\[F=-kx=-16\x(-0.02)=0.32{\rm N}\]
加速度
\[a=\frac{F}{m}=\frac{0.32}{0.2}=1.6\msq\]
这个弹簧振子的周期
\[T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\x3.14\x\sqrt{\frac{0.2}{16}}=0.70{\rm s}\]
频率
\[f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.70}=1.4{\rm Hz}\]
    \end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{练习三}
\begin{enumerate}
    \item 假如把单摆和弹簧振子都从地球移到月球上，它们的振动频率是否改变？为什么？
    
    \begin{solution}
弹簧振子的周期不会改变，由于周期$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$，
把弹簧振子从地球移到月球上后$m$和$k$都不变，所以周期不
变，振动频率也不变．

单摆的周期会发生变化，由于周期$T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$，
而月球
上的重力加速度$g_{\text{月}}$与地球上的重力加速度$g$不等，所以周期要变，振动频率也要变．
    \end{solution}
    \item 两个单摆，它们的摆长的比是1:4，求它们的周期的比．两个单摆，它们的频率的比是1:4，求它们的摆长的比．

    \begin{solution}
由单摆周期公式$T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$，得周期之比
\[\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\]
由单摆频率公式$f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}$，得
\[\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}}\]
所以
\[\frac{\ell_1}{\ell_2}=\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2=\left(\frac{4}{1}\right)^2=16\]
    \end{solution}
    \item 测某地的重力加速度时，用了一个摆长为2米的单摆，测得100次全振动所用的时间是4分44秒，这个地方的重力加速度多大？

    \begin{solution}
        100次全振动所用的时间
\[t=4\x 60 +44=284{\rm s}\]
周期$T=\dfrac{t}{100}=2.84{\rm s}$，由$T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$，得：
\[g=\frac{4\pi^2\ell}{T^2}=\frac{4\x 3.14^2\x 2}{2.84^2}=9.78\msq\]
    \end{solution}
    \item 假如把上题中的单摆拿到月球上去，月球的重力加速度是1.6$\msq$，摆的周期将变为多少秒？

    \begin{solution}
        在月球上的周期
        \[T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{月}}}}=2\x3.14\x\sqrt{\frac{2}{1.6}}=7.0{\rm s}\]
    \end{solution}
\end{enumerate}




\subsection{练习四}


\begin{enumerate}
    \item 图9.24是一个简谐振动的图象．根据图象确定它的振幅和周期．
    \begin{figure}[htp]\centering
        \begin{tikzpicture}[>=stealth, xscale=.7, domain=0:3*pi, samples=200]
    \draw [->](0,0)node [left]{$0$}--(11,0) node [below]{$t$（秒）};
    \draw [->](0,-1.2)--(0,1.5) node [right]{$x$（厘米）};
    
    
            \draw [very thick]  plot (\x,{cos(\x r)});
    
     \draw [dashed](0, 1) -- (2*pi, 1);  
     \draw [dashed](0,-1) -- (3*pi, -1);     
    
    \foreach \x in{1,2,...,5}
    {
        \draw(\x*pi/2, 0)node [below]{\x}--(\x*pi/2, 0.2);
    }
    
    \node at (-.5,1){$+10$};\node at (-.5,-1){$-10$};
    
    
        \end{tikzpicture}
        \caption{}
    \end{figure}

    \begin{solution}
        振幅$A=10$厘米，周期$T=4$秒．
    \end{solution}
    \item 图9.10的振动图象是一条余弦曲线，你能不能应用学过的数学知识算出下列时刻振子对平衡位置的位移？
    \begin{enumerate}
        \item $t=0.5$秒；
        \item $t=1.5$秒．
    \end{enumerate}

    提示：想一想在图9.24中，1秒、2秒等时刻相当于余弦函数的多大的角度．

    \begin{solution}
因为振动曲线是余弦函数图象，位移的函数表达式
可写为$x=A\cos\theta$, 由图象可以看出周期$T=4$秒．当$t_1=0.5$
秒时，相当$\theta_1=0.5\x\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$，
当$t_2=1.5$秒时，相当$\theta_2=1.5\x\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$．
故有
\[\begin{split}
    x_1&=A\cos\theta_1=10\x\cos\frac{\pi}{4}=10\x \frac{\sqrt{2}}{2}=7.07{\rm cm}\\
    x_2&=A\cos\theta_2=10\x\cos\frac{3\pi}{4}=10\x \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-7.07{\rm cm}\\
\end{split}\]
    \end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{练习五}
分析弹簧振子（课本图9.2）和单摆（课本图9.3）在振动中能量的转化情况（增多或减少），填好下表：

\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
        \hline
        振子的运动  & $C\to O$ & $O\to B$ & $B\to O$ & $O\to C$\\
        \hline
动能的变化  &增大&减小&增大&减小\\
势能的变化&减小&增大&减小&增大\\
总能量的变化&不变&不变&不变&不变\\
\hline
    \end{tabular}
\end{center}



\subsection{练习六}
\begin{enumerate}
    \item 除了书上讲过的自由振动和受迫振动的例子外，再各举两个实例．


    \begin{solution}
        琵琶的弦被拨动后的振动，鼓面被击后的振动是自
        由振动．

        蚊子、蜜蜂、蜻蜓等飞行时翅膀的振动，人挑担行走时扁
        担的振动都是受迫振动．
    \end{solution}
    \item 仿照课本图9.13所示的研究共振现象的装置，自己利用手边的材料来做实验，观察受迫振动的振幅跟策动力频率之间的关系．


    \begin{solution}
    （解答略）
    \end{solution}
    \item 汽车的车身是装在弹簧上的，如果它的固有周期是1.5秒，汽车在一条起伏不平的路上行驶，路上各凸起处相隔的距离都大约是8米，那么汽车以多大的速度行驶时车身的起伏振动最激烈？


    \begin{solution}
汽车受迫振动频率由$f=v/\ell$决定，式中$v$为汽车速
率，$\ell$是路面凸起处的间隔，当$f=f_{\text{固}}$时发生共振，车身振动最剧烈，故有
\[\frac{v}{\ell}=\frac{1}{T_{\text{固}}}\]
则
\[v=\frac{\ell}{T_{\text{固}}}=\frac{8}{1.5}=5.33\ms\]
    \end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{练习七}
\begin{enumerate}
    \item 在某一地区，地震波的纵波和横波在地表附近的传播速率分别是9.1${\rm km}/{\rm s}$和3.7${\rm km}/{\rm s}$．在一次地震时，这个地区的一个观测站记录的纵波和横波的到达时刻相差5秒，那么地震的震源距这个观测站多远？

    \begin{solution}
        设震源距观测站距离为$s$, 由于地震波的纵波和横
        波由震源处同时发出，它们的速度分别为$v_1$、$v_2$, 则先后到达
        观测站的时间差
        \[\Delta t=\frac{s}{v_2}-\frac{s}{v_1}\]
        所以
\[s=\left(\frac{1}{v_2}-\frac{1}{v_1}\right)\Delta t=\left(\frac{1}{3.7}-\frac{1}{9.1}\right)\x 5=31{\rm km}\]
    \end{solution}
    \item 一只船停泊在岸边，如果海浪的波峰间的距离是6米，海浪的波速是1.5$\ms$，求船摆晃的周期是多少？

    \begin{solution}
        海浪波峰间距离即海浪的波长$\lambda$．船摇晃的周期就
        是它上下浮动，完成一次全振动的周期$T$. 
        \[T=\frac{\lambda}{v}=\frac{6}{1.5}=4{\rm s}\]
    \end{solution}
    \item 甲乙二人分乘两只船在湖中钓鱼，两船相距24米．有一列水波在湖面上传播开来，每只船每分钟上下浮动20次，当甲船位于波峰时，乙船位于波谷，这时两船之间还有一个波峰，水波的波速是多大？

    \begin{solution}
        船每分钟上下浮动20次，即完成20次全振动，故水
        波周期
        \[T=\frac{t}{20}=\frac{60}{20}=3{\rm s}\]
        甲、乙两船相距1.5个波长，故波长
\[ \lambda=\frac{s}{1.5}=\frac{24}{1.5}=16{\rm m} \]
        波速
\[v=\frac{\lambda}{T}=\frac{16}{3}=5.33\ms\]

        此题也可按以下方法求解：因为甲、乙两船相距1.5个
        波长，故水波通过两船时间为1.5个周期，于是波速
        \[v=\frac{s}{t}=\frac{24}{1.5T}=\frac{24}{1.5\x 3}=5.33\ms\]
    \end{solution}
    \item 仔细研究课本图9.15，说明：两个相邻的反相质点间的距离等于波长的多少．

    \begin{solution}
        由于两个相邻的同相质点间的距离等于一个波长，
        则两个相邻的反相质点间的距离等于半个波长．
    \end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{练习八}
\begin{enumerate}
    \item 振动图象和波的图象各表示的是什么内容？振动图象中相邻两个最大值之间的间隔等于什么？波的图象中相邻两个最大值之间的间隔等于什么？

    \begin{solution}
        振动图象表示的是某振动质点对平衡位置位移怎
        样随时间而变化．波的图象表示的是某一时刻沿波传播方向
        上媒质各质点对平衡位置的位移．振动图象中相邻两个最大
        值之间的间隔等于振动周期$T$, 波动图象中相邻两个最大值
        之间的间隔等于波长$\lambda$．
    \end{solution}
    \item 有一列波，它在某一时刻的波形曲线如课本图9.18中的实线所示，这列波经过$T/4$后的波形曲线是什么样？经过$2T/4$，$3T/4$后又是什么样？

    \begin{solution}
        经过$T/4$、$2T/4$、$3T/4$后的波形曲线分别如图9.25
        的甲、乙、丙所示．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/9-25.png}
    \caption{}
\end{figure}

    \end{solution}
    \item 横波的图象直观地表现了横波在某一时刻的波形，纵波的图象却不能直观地表现纵波的情况，但是，我们看到纵波的图象应该很自然地想出纵波的情况，就象我们看到振动图象应该很自然地想出弹簧振子或单摆的振动情况一样．仔细考察课本图9.19,回答下面的问题．
    \begin{enumerate}
        \item 在图象的什么地方质点向右的位移最大？
        \item 在图象的什么地方质点向左的位移最大？
        \item 在图象的什么地方质点的位移为零？
        \item 密部中央两侧质点的位移有什么特征？
        \item 疏部中央两侧质点的位移有什么特征？
    \end{enumerate}

    \begin{solution}
    在图线的最高点处质点向右的位移最大；在图线的
最低点处质点向左的位移最大；在图线与横轴的交点处质点
的位移为零；密部中央左侧的质点位移向右，右侧的质点位移
向左；疏部中央左侧的质点位移向左，右侧的质点位移向右．
    \end{solution}
\end{enumerate}




\subsection{练习九}

\begin{enumerate}
\item 第一次测定声音在水中的传播速率是1827年在日
内瓦湖上用下面的方法进行的：在一只船上实验员向水里放
下一个钟，当敲这个钟的时候，使船上的火药同时发光；在另
一只船上，另一实验员向水里放下一个听音器，他测量从看到
火药闪光到听到钟声所经过的时间．

两船相距14千米，看到火药闪光后10秒钟听到声音，求
声音在水中的传播速率．


\begin{solution}
    光在空气中的传播速率很大，它在两只船间的传播
时间可以忽略不计，因此声在水中的传播速率
\[v=\frac{s}{t}=\frac{14000}{10}=1400\ms\]
\end{solution}
\item 第一次测定铸铁里的声速是在巴黎用下面的方法进
行的：从铸铁管的一端敲一下钟，在管的另一端听到两次响
声，第一次是由铸铁管传来的，第二次是由空气传来的．管长
931米，两次响声相隔2.5秒，如果当时空气中的声速是340
$\ms$，求铸铁中的声速．

\begin{solution}
    设管长为$s$, 声波在空气中传播速度为$v_1$, 在铸铁中
    传播速度为$v_2$, 则在管端听到两次声音的时差为
\[\frac{s}{v_1}-\frac{s}{v_2}=t\]
所以\[v_2=\frac{s}{s-v_1t}\cdot v_1\]
代入数值计算可得：$v_2=3.9\x 10^3\ms=3.9{\rm km/s}$
\end{solution}
\item 为了听到回声，反射声波的障碍物至少应该离开我
们多远？猎人在射击后6秒钟听到射击的回声，障碍物离猎人
有多远？设空气中的声速是340$\ms$．

\begin{solution}
    设从声源（人）发出声波到接收到从障碍物反射回来
    的声波的时间为$t_0$, 只有当$t_0\ge 0.1$秒时才能将回声和原来
    的声音区分开来．如果声源（人）到障碍物距离为$s$, 能听到
    回声的条件是
    \[\frac{2s}{v}\ge 0.1{\rm s}\]
    所以
 \[s\ge   \frac{v}{2}\x0.1=\frac{340}{2}\x 0.1=17{\rm m}\]
    得$s\ge 17$米，即反射物离人至少应有17米远．

    设障碍物离猎人的距离为$L$, 因射击后6秒钟听到回
    声，故
    \[\frac{2L}{v}=t,\qquad L=\frac{vt}{2}\]
    代入数值计算可得
\[L=\frac{340\x 6}{2}=1020{\rm m}\]
\end{solution}
\item 人能听到的声膏的最高频率是20000赫．狗能听到
的声音的最高频率是50000赫．蝙蝠能发出并且能听到的声
音频率高达120000赫．分别求出人、狗、蝙蝠能听到的，在
0$^{\circ}$C空气中传播的声波的最短波长．

\begin{solution}
    在0$^{\circ}$C空气中，人能听最短声波波长
    \[\lambda_1=\frac{v}{f_1}=\frac{332}{20000}=0.0166{\rm m}=1.66{\rm cm}\]
    狗能听到最短声波波长
    \[\lambda_2=\frac{v}{f_2}=\frac{332}{50000}=0.00664{\rm m}=6.64{\rm mm}\]
    蝙蝠能听到的最短声波波长
    \[\lambda_3=\frac{v}{f_3}=\frac{332}{120000}=0.00227{\rm m}=2.77{\rm mm}\]
\end{solution}
\item 在一次如课本图9.29所示的空气柱共鸣的实验中，测得
共鸣时空气柱的最短长度为19厘米，声波的波长有多长？已
知音叉的频率是440赫，空气中的声速有多大？


\begin{solution}
    声波的波长
    \[\lambda=4L=4\x19=76{\rm cm}\]
在空气中的声速
\[v=\lambda f=0.76\x440=334\ms\]
\end{solution}

\end{enumerate}




\subsection{习题}
\begin{enumerate}
    \item 一座摆钟走得慢了，要把它调准，应该怎样改变它的摆长？是增长还是缩短？为什么？

    \begin{solution}
        应该缩短摆长．因为摆长短了，周期变小，频率加
        快，钟比原来走得快，这样原先走得慢的钟就能调准了．
    \end{solution}
    \item 周期是2秒的单摆叫做秒摆，试根据测得的当地重力加速度$g$的数值自制一个秒摆．

    \begin{solution}
        略．
    \end{solution}
    \item 使悬挂在长绳上的小球偏离平衡位置一个很小的角度，然后放开它；使另一个小球以初速度为零从长绳的悬挂点自由落下，如果两球同时开始运动，哪一个球先到达第一个球的平衡位置？

    \begin{solution}
        单摆小球到达平衡位置所需时间
        \[t_1=\frac{T}{4}=\frac{1}{4}\x2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\ell}{g}}=1.57\sqrt{\frac{\ell}{g}}\]
         自由下落的小球到达摆球平衡位置所需时间
\[t_2=\sqrt{\frac{2\ell}{g}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{\ell}{g}}=1.41\sqrt{\frac{\ell}{g}}\]
        因为$t_1>t_2$, 所以自由下落的小球先到达单摆的平衡位
        置．
    \end{solution}
    \item 一位物理学家通过电视机观看宇航员登月球的情
况，他发现在发射到月球上的一个仪器舱旁边悬挂着一个重
物，在那里摆动，悬挂重物的绳长跟宇航员的身高相仿．这
位物理学家看了看自己的手表，测了一下时间，于是他测出了
月球表面上的自由落体加速度的数值，他是怎么测出的？

\begin{solution}
    据公式
    \[T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{月}}}}\]
    只要用手表测出摆的振动周
    期估测出宇航员的身高，即得
    \[g_{\text{月}}=\frac{4\pi^2 \ell}{T^2}\]
\end{solution}
\item 一个准备装到人造卫星上的小型电子计算机将承受
10$g$的加速度，为了试验它是否承受得了这样大的加速度，
将它装到一个在水平方向上做简谐振动的试验台上．试验台
的频率是10赫，要使试验台的最大加速度达到10$g$，它的振
幅必须多大？

\begin{solution}
    据作简谐振动回复力公式$F_m=kA$, 最大加速度的
    大小$a_m=\dfrac{F_m}{m}=\frac{k}{m}A$．

由$f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$，得：$k=4\pi^2f^2m$，代入上面的$a_m$表达式$a_m=4\pi^2f^2A$，得：
\[A=\frac{a_m}{4\pi^2f^2}=\frac{10g}{4\pi^2f^2}=\frac{10\x 9.8}{4\x 3.14^2\x 10^2}=0.0248{\rm m}=2.48{\rm cm}\]
\end{solution}
\item 火车车轮经过接轨处时要受到震动，因而使车厢在
弹簧上上下振动．已知弹簧每受1吨的力，被压缩1.6毫米．
三厢和载重共重55吨，每段铁轨长12.5米，火车沿轨道做
匀速运动时，它的危险速度是多少$\kmh$？

\begin{solution}
    据胡克定律，车厢弹簧的倔强系数
    \[k=\frac{F}{x}=\frac{9800}{0.0016}{\rm N/m}\]
可计算出火车行驶时振动的固有周期
\[T_{\text{固}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\x 3.14\x \sqrt{\frac{55000\x 0.0016}{9800}}=0.60{\rm s}\]
    火车受迫振动周期
    \[T=\frac{\ell }{v}\]
    式中$v$为火车的行驶速度，$\ell$是铁轨的长度．

    只有当$T=T_{\text{固}}$时火车才发生共振，车身振动最剧烈，故
    危险速度
\[v=\frac{\ell}{T_{\text{固}}}=\frac{12.5}{0.60}=21\ms=75.6\kmh\]
\end{solution}
\item 已知0$^{\circ}$C时空气中的声速是332$\ms$，水中的声速
是1450$\ms$，声波由空气传入水中时波长变化了多少倍？

\begin{solution}
    因为声音由空气传入水中时，频率不变，故有
\[\frac{v_{\text{水}}}{\lambda_{\text{水}}}=\frac{v_{\text{空}}}{\lambda_{\text{空}}}\]
所以
\[\frac{\lambda_{\text{水}}}{\lambda_{\text{空}}}=\frac{v_{\text{水}}}{v_{\text{空}}}=\frac{1450}{332}=4.37\]
    即：水中波长增大至空气中波长的4.37倍．
\end{solution}
\item $A$、$B$、$C$三点分别距声源$S$ 40厘米、52.5厘米、65
厘米，从$S$传出的声波波长是25厘米，分别求出$A$、$B$两点
和$A$、$C$两点相的关系．

\begin{solution}
    设在波的传播方向上有两点，若振源到这两点的距
    离的差等于波长的整数倍，这两点同相；若振源到这两点的距
    离的差等于半波长的奇数倍，这两点反相．故有
    声源距$A$、$B$两点的距离的差为
\[\Delta s_{AB}=s_B-s_A=52.5-40=12.5{\rm cm}=\frac{\lambda}{2}\]
所以$A$、$B$两点反相．

声源距$A$、$C$两点的距离的差为
\[\Delta s_{AC}=s_C-s_A=65-40=25{\rm cm}=lambda\]
所以$A$、$C$两点同相．
\end{solution}
\item 图9.26中的$S_1$和$S_2$是两个同相、同频率的波源：
$S_1$和$A$点的距离是$\ell_1$，$S_2$和$A$点的距离是$\ell_2$，如果$\ell_2-\ell_1$等
于一个波长，两列波到达$A$点时同相，波峰和波峰相遇（或波
谷和波谷相遇），$A$点的振动加强；如果$\ell_2-\ell_1$等于半个波长，
两列波到达$A$点时反相，波峰和波谷相遇，$A$点的振动减弱．

试证明：当$\ell_2-\ell_1$为半波长的偶数倍时，$A$点的振动加强；当
$\ell_2-\ell_1$为半波长的奇数倍时，$A$点的振动减弱．

\begin{figure}[htp]\centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/9-26.png}
    \caption{}
    \end{figure}

\begin{proof}
    由于两个波源$S_1$和$S_2$的频率相同而且是同相
    的，$A$点距离两个源的距离之差$\ell_2-\ell_1$只要是波长的整数
    倍，两列波到达$A$点时就是同相的，振动互相加强；如果$\ell_2-\ell_1$比波长的整数倍相差半个波长，两列波到达$A$点时就是反相的，振动互相减弱．

    所以，如果$k$为任意的正整数，当$\ell_2-\ell_1=2k\cdot \dfrac{\lambda}{2}$
    时，有
    $\ell_2-\ell_1=k\lambda$, 为波长的整数倍，两列波到达$A$点时互相加强．
    当$\ell_2-\ell_1=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$
    时，有$\ell_2-\ell_1=k\lambda+\dfrac{\lambda}{2}$，
    比波长的
    整数倍相差半个波长，两列波到达$A$点时互相减弱．
\end{proof}
\end{enumerate}



\section{参考资料}
\subsection{周期运动、振荡和振动}
周期运动是任何一种在相等的间隔中完全重复的运动．
设$X(t)$代表系统在时刻$t$在某坐标系中的位移，则对于时间
变量的每一个$t$值周期运动都具有方程$X(t+T)=X(t)$所
定义的性质．一个循环持续的时间$T$称为运动的周期．钟
表的擒纵机构的运动，地球绕太阳的公转以及发动机在匀速
运转时曲柄、连杆和活塞更复杂的运动都是周期运动的例子．
任何周期运动都可以表示为傅里叶级数，即一些正弦项或余
弦项之和，各项的频率是整个周期运动频率$f$的整数倍．例
如通过傅里叶分析任何一个复杂的周期波都可以表示为一系
列正弦波分量的级数之和，分量的周期是这个复合波的基本
周期的$1/n$, $n$为正整数．

振荡是任何一种往复变化的现象，振荡的例子包括声波
中压力的变化，以及数学函数的起伏，即某数值在某一平均值
上下的重复交替变化．振荡这个词在很多场合与振动同义，
虽然后者主要指机械振动．例如为了检测产品抗震性能的机
器称为振动台，而使电流方向周期性反复交变的电子器件通
常称为振荡器．电磁场的交替变换称为电磁振荡．如给系统
以某一初扰动，然后让它自己进行振荡，这种现象称为\textbf{自由振
荡}．系统对恒定作用的周期激扰的响应称为\textbf{受迫振荡}．振幅不
断减小的任何振荡称为\textbf{衰减振荡}．通常是由于系统有能量输
出．振幅保持不变的振荡称为非衰减振荡，这通常是由于外
部能源补充能量．

振动这个术语描述相对于某一规定的中心基准（平衡位
置）位移的持续周期变化，这种周期运动可以包括从摆的简
单来回摆动、钢板受锤击后的较为复杂的振动，直到大型结构
的极其复杂的振动．例如汽车在粗糙路面上行驶时发生的振
动．所有的原子、分子与核子也都在不断振动，一个机械系
统要能自身维持其自由振动必须具有质量与弹性的特性或者
与此相当的特性，具有弹性是指系统从正常形态的任何偏离
将引起回复力促使系统返回正常形态．具有质量或惯性是指
系统在回到正常形态时所获得的速度又可使系统超越这一形
态．正是由于质量和弹性的相互作用，机械系统才有可能发
生周期振动．

\subsection{谐运动和谐振子}
谐运动是以时间的正弦（或余弦）函数表示的一种周期运
动，通常称为简谐运动，它是最简单形式的振动，这种运动对
它的平衡位置是对称的，在平衡位置处速度最大，加速度为零；
在最大位移（或转向点）处速度为零，加速度最大．这种运动的
特征是由单一的频率（无泛音）来表示的．谐运动可出现于非
常简单的机构中，例如匀速圆周运动物体上任一点在固定直
线上的投影．谐运动也可以是振动系统对某一周期正弦力的
响应．谐运动是许多简单系统的典型运动，只要使系统偏离
其稳定平衡位置然后释放并略去阻力得到的即是简谐运动．

谐振子是被回复力或回复力矩束缚在稳定平衡位置的任
何物理系统，其中回复力或回复力矩与离开平衡位置的线位
移或角位移成正比．如果这样一个物体从它的平衡位置被扰
动后释放并且阻尼可以忽略，则由此引起的振动是简谐振
动而没有谐波．振动频率是振子的固有频率，取决于它的惯
性（质量）和回复力的劲度（倔强系数）．谐振子并不限于力学
系统也可以是电学系统．（然而典型的电子振荡器只是近似
的谐振子）

\subsection{声压、声强}
声压：没有声波传播时媒质中的压强为$p_0$, 当声波在媒
质中传播时，某点的压强为$p_1$, 定义$p=p_1-p_0$为该点的声
压．随着质点位移的周期性变化，声压也作周期性的变化，声
压与媒质中质点的速度成正比，而且两者的位相相同．频率越
高，越容易获得较大的声压．正是由于声压的变化，引起耳膜
的振动才产生了听觉．在室内大声说话的声压大约为$10^5$帕．

声强：声波的能流密度称为声强，平面简谐波声强的大
小为
\[I=\frac{1}{2}\rho uA^2\omega^2\]
其中$\rho$为媒质密度，$u$为波速，$A$为振
幅，$\omega$为振动角频率）．声强的单位是${\rm W/m^2}$．
对于能引起听
觉的声波，不仅有频率的限制，而且声强也必须满足一定的要
求，对每一频率的声波，人能所到的声强都有一个上限值和
一个下限值．低于下限值或高于上限值都不能引起听觉．

\subsection{乐器的基音与泛音}

乐器的种类很多，按其发声部分的性质，可分为弦乐器和
管乐器，凡是振动部分是弦线的，称为弦乐器；凡是利用空气
柱的振动发声，称为管乐器．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.7]{fig/9-27.png}
    \caption{}
\end{figure}

弦乐器：入射波和反射波的叠加形成驻波．入射波
和反射波叠加在固定端形成波节，在自由端形成波腹．弦乐
器的两端形成波节，最简单的弦振动如图9.27甲上图，波长
是弦长的2倍，或弦长等于半波长，若波的传播速度为$v$, 弦
长为$\ell$, 则所发声音的频率
\[f=\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{2\ell}\]
这是基音．弦的振动
还有如图9.27乙、丙……上图所示的情况，即弦长分别等于
半波长的2,3……倍，声音的频率分别为$2f$、$3f$……这些频
率较高的声音叫泛音．

管乐器：管乐器可分为两端开口的开管和一端关闭
的闭管．吹入气流，引起管内气柱的振动，形成驻波，发生乐
音．开管的两端都是波腹，它的基音波长是管长的2倍，如图
9.27甲下图，乙、丙下图是开管的泛音．

闭管末端的空气不能振动，总是波节，所以它的基普波长
等于管长的4倍（如图9.28所示），或者说管长等于基音波长
的1/4.它也产生泛音，管长等于泛音波长的3/4,5/4……

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-28.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/9-29.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\subsection{弦乐器上共鸣箱的作用}
弦乐器上共鸣箱里的空气柱，只是在弦振动周期力的作
用下，发生受迫振动．一定形状、体积和密度的空气柱的固有
频率是一定的，而弦振动的频率是变化的，故空气柱不可能跟
弦振动的各种频率都发生共振，（声音的共振现象也称共鸣）．
实际上弦乐器在演奏时应避免尖锐的共振，因为它会使这一
频率的声音特别响．弦乐器上装“共鸣”箱，要避免共鸣箱对
某一频率过分增强的现象，使琴体空气柱的固有频率偏离演
奏时弦振动的频率，并应有适当的阻尼作用．共鸣箱的主要
作用在于增大发声体辐射面的面积，提高向周围空气辐射声
能的效率，因此把琴筒、琴体等称之为共鸣箱是不确切的，这
“共鸣”二字，只能从增强声音的辐射效率方面去理解．

\subsection{我国区域环境噪声标准}

\begin{center}
    \begin{tabular}{ccc}
        \hline
        适用区域&昼间分贝&夜间分贝\\
        \hline
特殊住宅区&45&35\\
居民、文教区&50&40\\
一类混合区&55&45\\
商业中心区、二类混合区&60&50\\
工业集中区&65&55\\
交通干线道路两侧&70&55\\
        \hline
    \end{tabular}

    单位：等效声级log分贝
\end{center}

说明：“特殊住宅区”指当地人民政府指定的特别需要安
静的住宅地区（如休养地、高级宾馆等）．“居民、文教区”指纯
居民和文教、机关地区．“一类混合区”指工业、商业、少量交通
和居民混合区．“商业中心区”指商业集中的繁华地区，“工业
集中区”是指当地政府指定的工业地区．“交通干线道路两
侧”是指车流量每小时一百辆以上的道路两侧．（引自国家劳
动总局主编《噪声控制技术》，上海科技出版社1983年1月第
1版）






